Couplage de deux oscillateurs mécaniques

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Soient deux pendules simples identiques oscillant dans le même plan, avec la même pulsation telle que :

$\omega _{0}^{2}=g/l$ (formule dite des petites oscillations)

Couplage des deux pendules[modifier | modifier le code]

Placer un ressort de longueur au repos égal à la distance M1M2 = a, entre les pendules immobiles. Ce faisant, on couple les 2 oscillateurs et les deux degrés de liberté x₁ et x₂ du mouvement de chaque pendule seront couplés par le ressort de raideur k.

Symétrie[modifier | modifier le code]

La symétrie du problème fait apparaître deux régimes :

l'un symétrique: x₁ = x₂ : le ressort ne joue aucun rôle et la pulsation reste inchangée.
l'autre antisymétrique x₁ = - x₂ : le point milieu du ressort reste immobile. On se retrouve avec deux oscillateurs non couplés avec rappel par un ressort de raideur 2k. La pulsation est telle que:
- $\omega _{u}^{2}={\frac {g}{l}}+{\frac {2k}{m}}$

Il suffirait donc d'avoir changé les coordonnées du problème en X₁ =x ₁+x₂ et X₂ = x₁-x₂ pour entraîner le découplage : c'est une situation générale pour des oscillateurs linéaires. En choisissant les coordonnées dites "normales", le couplage s'évanouit. C'est donc une notion relative au point de vue choisi.

Double résonance[modifier | modifier le code]

Appelons arbitrairement (on vient de le voir) K = kl/mg, la constante de couplage. Si l'on force le mouvement de la première masse par une force sinusoïdale F cos( $\omega$ t) alors le mouvement x₁(t) sera un mouvement sinusoïdal d'amplitude complexe x₁(p) tel que :

$x_{1}(p)={\frac {F}{m}}{\frac {p^{2}+\omega _{0}^{2}(1+K)}{(p^{2}+\omega _{0}^{2})(p^{2}+\omega _{u}^{2})}}$

qui est un réel conformément au théorème de Foster-Tuttle, avec résonance aux deux pulsations propres et une pulsation "bouchon" (x₁(t)=0 ), juste au moment où la masse m2 oscille sur cette pulsation. Celle-ci est telle que $\omega _{tampon}^{2}=\omega _{0}^{2}(1+K)$ , x₂ ayant une amplitude finie.